03 fevereiro 2014

RAIZ CÚBICA (Método de Newton)

EXTRAÇÃO DE RAIZ CÚBICA POR DERIVAÇÃO (Método de Isaac Newton)

Dando seqüência aos métodos de cálculo de raízes. O criador do "Cálculo Diferencial e Integral", Isaac Newton, descobriu um método para a obtenção dos valores das raízes de equações numéricas, aplicável tanto para equações algébricas como para equações transcendentes.

Isaac Newton.

Esse método pode ser utilizado também para extrairmos Raízes Cúbicas de Números Reais, como explicado a seguir:

Vamos calcular, por exemplo, a Raiz Cúbica de 7,2.

Extraindo a 3√7,2 na calculadora, obteremos o valor:  1,930978 .

Com o método de Newton poderemos nos aproximar do valor exato de uma Raiz Cúbica, por exemplo, fazendo assim:

Adotando x = 3√7,2.

Portanto:

x3 = 7,2.

f (x) = x3 - 7,2.

E sua derivada é:

f ' (x) = 3x2.

Podemos imaginar que a Raiz Cúbica 7,2 é mais ou menos 2.

Assim, vamos adotar o valor inicial x0 = 2.

Usando o Método por Derivação, podemos iniciar a extração da Raiz Cúbica de 7,2 assim:

x1 = x0 - [ f (x0) / f ' (x0) ].

x1 = x0 - [ ( x03 - 7,2 ) / ( 3x02) ].

A solução da equação para x1 será:

x1 = 2 - [ ( 23 - 7,2 ) / ( 3 × 22 ) ].

x1 = 2 - [ ( 8 - 7,2 ) / 12 ].

x1 = 2 - [ 0,8 / 12 ].

x1 = 2 - 0,067.

x1 = 1,933 (um valor próximo da Raiz Cúbica de 7,2 que é 1,930978).

Pode-se prosseguir indefinidamente para tornar o valor mais exato, usando a equação para o cálculo de x2 que será:

x2 = x1 - [ f (x1) / f ' (x1) ].

x2 = x1 - [ ( x13 - 7,2 ) / ( 3x12 ) ].

Onde já obteremos o valor de  1,930980 , já muito próximo da 3√7,2.

Pode-se verificar claramente que com esse método, pode-se extrair outros tipos de Raízes, não só Raízes Quadradas e Raízes Cúbicas.

* * * * *

6 comentários:

  1. Prezado,

    Muito boa sua explicação. Oportunamente, desejo acrescentar que existe a Formula Luderiana Racional para Extracao de Raizes Cubicas" (vejam no tópico raíz cúbica da wikipédia). Esta fórmula já dá 6 decimais corretas e se reaplicarmos o resultadao na própria formula termos mais de 1000 decimais em menos de 5 iterações e mais de 1milhão de decimais corretas em menos de 10 iterações.

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Este comentário foi removido pelo autor.

      Excluir
    2. Obrigado pela informação Ludenir.
      Com certeza colocarei esse método aqui no blog... aguarde.
      Aliás, pode me enviar qualquer método matemático que julgar interessante, como: cálculo de e, de Pi, de raízes, logarítmos, proporção áurea, cálculo numérico, espirais, etc, etc..

      Excluir
  2. Furnari, enviei para o seu email (hotmail) a "Formula Luderiana Racional para EQUACAO Cubica" que resolve qualquer equação do 3o grau, inclusive a cúbica real (3 raizes reais).
    Grato.

    ResponderExcluir
  3. Apos Isaac Newton criar tantas formulas, ficou bem mais fácil descobrir várias outras. Vejo nos comentários, muita gente com conhecimento bem elevado em física, matemática etc...etc...etc..... fico feliz em saber que no país chamado Brasil, tem BOAS cabeças. Meu orgulho...!!!!!

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Este site tem o objetivo de passar o máximo de informações sobre temas diferenciados, que normalmente não são tão populares, e por isso mesmo eu acho que tem poucas visitas.

      No Brasil, como você comentou, há poucas pessoas com interesses mais aprofundados, e temos atualmente uma escola "moderninha" que produziu uma queda acentuada do nível geral dos estudantes, colocando nosso país nos ÚLTIMOS LUGARES do ranking de ensino. Isso é um fato lamentável que podemos constatar quando vemos alunos universitários que nem sequer conseguem escrever direito.

      Excluir